相関行列とは、2つ以上の変数がどの程度の強さで、どのような方向に関連しているかを示す統計ツールである。 金融、経済、心理、生物などの分野で多く使われているのは、異なるものが互いにどのように関連しているかを理解するのに役立つからです。
データに基づいて適切な意思決定を行うには、相関行列の読み方や使い方を知っておく必要があります。 変数を行と列で表示します。 相関係数は、表の各セルに書かれています。
このブログでは、相関行列の仕組みを紹介し、いくつかの例を挙げて、データ分析にどのように使うかを考えます。
相関行列とは何ですか？
相関行列は、異なる変数の相関係数を表にしたものである。 行列は、表の中で可能なすべての値の組が、互いにどのように関連しているかを示す。 大規模なデータセットを要約し、データのパターンを見つけて表示するための強力なツールです。
表として示されることが多く、行と列の両方に各変数が記載され、各セルの中に各変数のペア間の相関係数が書き込まれている。 相関係数は-1～+1の範囲で、-1は完全な負の相関、+1は完全な正の相関、0は変数間に相関がないことを意味します。
また、他の種類の統計解析と併用されることも多い。
例えば、重回帰を利用したモデルの分析に役立てることができます。
モデルには、自分で変えられる変数がいくつかあることを忘れてはいけません。 重回帰では、相関行列によって、モデル内の独立変数が互いにどの程度強く関係しているかを知ることができます。
相関行列はどのように機能するのですか？
相関行列は、2つの変数の間の線形関係を計算する。 マトリックスは、各変数のペアについて相関係数を計算し、マトリックスの該当セルに挿入することで構築される。
2つの変数間の相関係数は、以下の式で計算されます：
r = (nΣXY – ΣXΣY) / sqrt((nΣX^2 – (ΣX)^2)(nΣY^2 – (ΣY)^2))
のところです。
r = 相関係数
n = 観察数
ΣXY＝2つの変数の対応する観測値の各組の積の和
ΣX＝第1変数の観測値の総和
ΣY＝第2変数の観測値の総和
ΣX^2 = 第1変数の観測値の二乗の総和
ΣY^2 = 第2の変数の観測値の二乗の和
その結果、相関係数は-1～+1の間で変化し、-1は完全な負の相関、+1は完全な正の相関、0は変数間に相関がないことを表す。
- どの変数が互いに有意に関連していて、どの変数が相関が低いか、あるいはまったく相関がないかを判断するのに使用できる。 これらの情報は、事実に基づいた予測や判断の材料として活用することができます。
- 異なる変数がどのように関連しているかを簡単かつ迅速に確認することができます。 一緒に上がったり下がったりする傾向がある変数は、正の相関係数が高い。 上昇または下降の方向が逆である傾向がある変数は、高い負の相関係数を持つ。
- 変数間のパターンや関係を見つけるのに重要です。 また、データに基づいて予測や意思決定を行うことも可能です。 相関係数が低いと、2つの変数が互いに強い関係を持っていないことを示す。
相関行列のポイント
相関行列は、データセット中の各変数のペア間の相関を示す行列である。 相関行列の重要な部分です：
- 相関行列は、2つ以上の変数が互いにどのように関連し、または依存しているかを判断するのに役立ちます。
- 表形式で表示されるので、読みやすく、理解しやすく、パターンを見つけて将来どうなるかを予測することができます。
- このアイデアは、データを要約して確かな結論を導き出すことで、投資家が資金の置き場所についてより良い決断をするのに役立ちます。
- Excelはもちろん、SPSSやPythonを駆使したPandasなど、より高度なツールを使って効率的に行列を作ることができます。
相関行列の例
年齢、収入、学歴、仕事のやりがいという4つの変数を持つデータセットを、相関行列がどのように読み取り、理解するのに役立つかを例で見てみましょう：
| 年齢 | 収入 | 教育 | 仕事の満足度 | |
| 年齢 | 1 | 0.5 | 0.3 | 0.2 |
| 収入 | 0.5 | 1 | 0.8 | 0.6 |
| 教育 | 0.3 | 0.8 | 1 | 0.4 |
| 仕事の満足度 | 0.2 | 0.8 | 0.4 | 1 |
この例では、所得と学歴は0.8という強い正の相関があることがわかります。 つまり、教育レベルが高い人ほど所得が高くなる傾向があるのです。 年齢と収入も0.5という中程度の正の相関があり、年齢が上がるにつれて収入が増えることが示唆されています。 しかし、年齢と仕事満足度の相関は0.2しかなく、年齢が仕事満足度を強く予測するものではないことがわかります。
相関行列は、これらの変数が互いにどのように関連しているかを要約するのに便利です。
相関行列と共分散行列の比較
共分散行列と相関行列はどちらも統計学でパターンを研究するのに使われるが、両者は異なるものである。 1つ目は、2つ以上の変数が互いにどれだけ異なるかを示し、2つ目は、それらがどれだけ似ているかを示しています。
相関行列と共分散行列の違いには、次のようなものがあります：
| ベース | 相関マトリックス | 共分散マトリックス |
| 関係 | 2つの変数の関係の方向性（正／負）と強さ（低／中／高）の両方を把握することができます。 | 2つの変数の関係がどちらに向かうかだけを測るものです。 |
| 指定されたサブセットと範囲 | 共分散の一部であり、0～1の範囲で値が設定されています。 (-1〜1)である。 | それは明確な限界のない（無限大までいける）大きなアイデアです。 |
| ディメンション | 測定できないのです。 | 測定することができます。 |
結論
相関行列とは、2つの変数間の相関係数を示す正方形の行列である。 相関係数は、2つの変数がどの程度の強さで、どの方向に直線的につながっているかを測定するものです。 相関行列は、多変量解析や統計学において、異なる変数がどのように関連しているかを調べることが多い。
また、相関行列は、2つ以上の変数が互いに高い相関を持つ状況を見つけるために使用することができます。 これを多重共線性という。 多重共線性は、回帰分析において、パラメータ推定値が安定しない、標準誤差が大きすぎるなどの問題を引き起こすことがあります。
相関行列は、異なる変数が互いにどのように関連しているかを把握するのに便利なツールです。 2つの変数の相関係数を見ることで、それらの変数がどのように関連しているのか、ある変数の変化が他の変数にどのように影響するのかを知ることができます。
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